Александр Мосунов родился в Перми 27 мая 1997 года. Воспитанник пермского ЦПМФ «Амкар». Первый тренер – Ю. Н. Костюнин. Играет на позициях левого и центрального защитника.

В возрасте 8 лет отец привёл Александра на отбор в команду ЦПМФ «Амкара» из ребят 1997 года рождения. По результатам отбора Мосунов был зачислен в команду.

С 2015 по 2018 года Александр выступал за дубль «Амкара» в Молодёжном первенстве Премьер-лиги, являясь одним из основных игроков команды.

Летом 2018 года вошёл в состав возрождённой пермской команды «Звезда». В сезоне 2018/19 стал одним из двух игроков «Звезды», которые выходили на поле в стартовом составе команды в каждом матче сезона (25 – в ПФЛ, 1 – в Кубке России). Также стал рекордсменом команды по числу проведённого на поле времени (2289 минут), обойдя Андрея Придюка лишь на 55 минут.

В июне 2019 года был вызван в сборную группы «Урал-Приволжье» (для игроков не старше 1997 года рождения) на турнир «Переправа–2019», который прошёл в Саранске с 11 по 15 июня. Мосунов выходил на поле во всех 3 матчах турнира (2 – в стартовом составе, 1 – на замену) и вместе со сборной «Урал-Приволжье» занял 4-е место.

Летом 2019 года продлил сотрудничество с футбольным клубом «Звезда».