Анатолий Красильников родился в Верещагино (Пермский край) 3 декабря 1998 года. Воспитанник пермского ЦПМФ «Амкар». Первые тренеры – А. Д. Един и Н. В. Крищук. Первый тренер вратарей – О. Н. Степанов.

С 2015 по 2018 годы выступал за дубль «Амкара» в Молодёжном первенстве Премьер-лиги. После того, как Александр Селихов начал выходить в стартовом составе команды Премьер-лиги, Красильников стал основным вратарём дубля.

Зимой 2019 года подписал контракт с футбольным клубом «Псков-747», выступающим в группе «Запад» ПФЛ. В весенней части сезона 2018/19 провёл 4 матча, в двух из которых сохранил ворота «сухими».

Летом 2019 года принял предложение вернуться в Пермь и выступать за футбольный клуб «Звезда», став одним из летних новичков команды.